Question

3．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$_1\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=1．
（Ⅰ）把C₁的參數(shù)方程式化為普通方程，C₂的極坐標(biāo)方程式化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求C₁與C₂焦點的極坐標(biāo)（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為$_1\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)θ，化為普通方程．由ρ=1，得ρ²=1，
再將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入ρ²=1，可得C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得，再化為極坐標(biāo)即可．

解答 解：（Ⅰ）曲線C₁的參數(shù)方程為$_1\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)θ，化為普通方程（x-1）²+（y-1）²=1，即C₁的普通方程為（x-1）²+（y-1）²=1，
由ρ=1，得ρ²=1，
再將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入ρ²=1，得x²+y²=1，
即C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$
所以C₁與C₂交點的極坐標(biāo)分別為$（{1，0}），（{1，\frac{π}{2}}）$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、曲線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．