Question

已知數(shù)列{a_n}中的相鄰兩項(xiàng)a_2k-1，a_2k是關(guān)于x的方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（I）求a₁，a₃，a₅，a₇；
（II）求數(shù)列{a_n}的前2n項(xiàng)和S_2n；
（Ⅲ）記f(n)=

1

2

(

|sinn|

sinn

+3)，Tn=

(-1)f(2)

a1a2

+

(-1)f(3)

a3a4

+

(-1)f(4)

a5a6

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

，求證：

1

6

≤Tn≤

5

24

(n∈N*)．

Answer 1

（I）方程x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=0的兩個(gè)根為x₁=3k，x₂=2^k，
當(dāng)k=1時(shí)，x₁=3，x₂=2，所以a₁=2；
當(dāng)k=2時(shí)，x₁=6，x₂=4，所以a₃=4；
當(dāng)k=3時(shí)，x₁=9，x₂=8，所以a₅=8時(shí)；
當(dāng)k=4時(shí)，x₁=12，x₂=16，所以a₇=12．
（II）S_2n=a₁+a₂++a_2n=（3+6++3n）+（2+2²++2ⁿ）=

3n2+3n

2

+2n+1-2．
（III）證明：Tn=

1

a1a2

+

1

a3a4

-

1

a5a6

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

，
所以T1=

1

a1a2

=

1

6

，T2=

1

a1a2

+

1

a3a4

=

5

24

．當(dāng)n≥3時(shí)，Tn=

1

6

+

1

a3a4

-

1

a5a6

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

，≥

1

6

+

1

a3a4

-(

1

a5a6

+…+

1

a2n-1a2n

)≥

1

6

+

1

6•22

-

1

6

(

1

23

+…+

1

2n

)=

1

6

+

1

6•22

-

1

24

(1-

1

2n-3

)＞ 

1

6

，
同時(shí)，Tn=

5

24

-

1

a5a6

-

1

a7a8

+…+

(-1)f(n+1)

a2n-1a2n

≤

5

24

-

1

a5a6

+(

1

a7a8

+…+

1

a2n-1a2n

)≤

5

24

-

1

9•23

+

1

9

(

1

24

+…+

1

2n

)=

5

24

-

1

9•23

+

1

9

•

1

23

(1-

1

2n-3

)＜ 

5

24

．
綜上，當(dāng)n∈N*時(shí)，

1

6

≤Tn≤

5

24

．