Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²•a_n．
（1）求證數(shù)列{

an

n2

}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）設(shè)b n=

an

n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）設(shè)C_n=

n

an

，求證：c1+c2+c3+…+cn＜

7

10

．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=2（1+

1

n

）²•a_n，可得

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

，從而可得{

an

n2

}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可并求其通項公式；
（2）利用錯位相減法，可求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（3）利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵a_n+1=2（1+

1

n

）²•a_n，
∴

an+1

(n+1)2

=2•

an

n2

∵a₁=2，∴{

an

n2

}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴

an

n2

=2n
∴a_n=n²•2ⁿ；  
（2）解： bn=

an

n

=n•2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ
∴2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得-S_n=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹；
（3）證明：c_n=

n

an

=

1

n•2n

＞0，
設(shè)T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，則T₁＜T₂＜T₃＜T₄，
當n≥4時，T_n=

1

1•2

+

1

2•22

+…+

1

n•2n

＜

1

2

+

1

8

+

1

4

(

1

24

+…+

1

2n

)=

2

3

+

1

4

•

1

23

-

1

4

•(

1

2

)n＜

2

3

+

1

4

•

1

23

＜

2

3

+

1

30

=

7

10

綜上：c₁+c₂+c₃+…+c_n＜

7

10

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項與求和，考查不等式的證明，屬于中檔題．