Question

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足．
（Ⅰ）若，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需證明）；
（Ⅱ）記b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2對(duì)n≥2恒成立，求a₂的值及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知，由此可猜想|a_n|的通項(xiàng)為a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n項(xiàng)和，則b_n=2^S_n．由題設(shè)知x₁=1且；．由此入手能夠求出a₂的值及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（Ⅰ）因a₁=2，a₂=2^-2，故，

由此有a₁=2^（-2）0，a₂=2^（-2）2，a₃=2^（-2）2，a₄=2^（-2）3，、
故猜想|a_n|的通項(xiàng)為a_n=2^（-2）n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）令x_n=log₂a_n，S_n表示x_n的前n項(xiàng)和，則b_n=2^S_n．
由題設(shè)知x₁=1且；①
．②
因②式對(duì)n=2成立，有．③
下用反證法證明：．
由①得．
因此數(shù)列|x_n+1+2x_n|是首項(xiàng)為x₂+2，公比為的等比數(shù)列．
故．④
又由①知，
因此是是首項(xiàng)為，公比為-2的等比數(shù)列，
所以．⑤
由④-⑤得．⑥
對(duì)n求和得．⑦
由題設(shè)知．
．
即不等式2^2k+1＜
對(duì)k∈N^*恒成立．但這是不可能的，矛盾．
因此x₂≤，結(jié)合③式知x₂=，因此a₂=2^*2=．
將x₂=代入⑦式得
S_n=2-（n∈N*），
所以b_n=2^S_n=2^2-（n∈N*）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．仔細(xì)解答，避免出錯(cuò)．