Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在（1，2]是增函數(shù)，g(x)=x-a

x

在（0，1）為減函數(shù)．
（1）求f（x）、g（x）的表達(dá)式；
（2）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）當(dāng)b＞-1時(shí)，若f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

，依題意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，故a≤2．由g′(x)=1-

a

2 x

，依題意a≥2

x

，?x∈（0，1）恒成立．故a≥2．所以a=2．由此能求出f（x）、g（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，方程x2-2lnx-x+2

x

-2=0．設(shè)h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2(x＞0)，
則h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

=

( x -1)[(2x+1) x +2(x+1)]

x

，令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．列表分析知h（x）在x=1處有一個(gè)最小值0，由此能夠證明當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．
（Ⅲ）法一：
f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]恒成立等價(jià)于x²-2lnx≥2bx-

1

x2

，在x∈（0，1]內(nèi)恒成立等價(jià)于2b≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立．由此能求出b的取值范圍．
法二：
設(shè)φ(x)=x2-2lnx-2bx+

1

x2

，則x∈（0，1]時(shí)，φ′(x)=2x-

2

x

-2b-

2

x3

=2•

x4-x2-1

x3

-2b=2•

(x2- 1 2 )2- 5 4

x3

-2b≤-2(b+1)＜0，由此能求出b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x-

a

x

，
依題意f'（x）≥0，?x∈（1，2]恒成立，
即a≤2x²，?x∈（1，2]恒成立．
∴a≤2①…（2分）
又g′(x)=1-

a

2 x

，依題意恒成立g'（x）≤0，?x∈（0，1），
即a≥2

x

，?x∈（0，1）恒成立．
∴a≥2．②…（4分）
由①②得a=2．
∴f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2

x

．…（5分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）+2知，
方程x2-2lnx-x+2

x

-2=0，
設(shè)h(x)=x2-2lnx-x+2

x

-2(x＞0)，
則h′(x)=2x-

2

x

-1+

1

x

=

( x -1)[(2x+1) x +2(x+1)]

x

，…（7分）
令h'（x）=0，并由x＞0，得x=1．
列表分析：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	遞減	0	遞增

知h（x）在x=1處有一個(gè)最小值0，…（9分）
∴當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∞）上只有一個(gè)解．
即當(dāng)x＞0時(shí)，方程f（x）=g（x）+2有唯一解．        …（11分）
（Ⅲ）解法一：∵f(x)≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]恒成立，
∴x²-2lnx≥2bx-

1

x2

在x∈（0，1]內(nèi)恒成立，
∴2b≤x+

1

x3

-

2lnx

x

在在x∈（0，1]內(nèi)恒成立…③…（13分）
令m(x)=x+

1

x3

-

2lnx

x

（x∈（0，1]），
則m′(x)=1-

3

x4

-

2(1-lnx)

x2

=

x4-3-2x2+2x2lnx

x4

=

(x2-3)(x2+1)+2x2lnx

x4

∴x∈（0，1]時(shí)，m'（x）＜0，
∴m（x）在（0，1]是減函數(shù)，
∴[m（x）]_min=m（1）=2
由③知2b≤[m（x）]_min=2，
∴b≤1…（15分）
又b＞-1，所以：-1＜b≤1為所求范圍．…（16分）
解法二：設(shè)φ(x)=x2-2lnx-2bx+

1

x2

，
則x∈（0，1]時(shí)，φ′(x)=2x-

2

x

-2b-

2

x3

=2•

x4-x2-1

x3

-2b（13分）
=2•

(x2- 1 2 )2- 5 4

x3

-2b≤-2(b+1)＜0…（15分）
∴φ（x）在（0，1]為減函數(shù)，
∴φ（x）_min=φ（1）=1-2b+1≥0，
∴b≤1
又b＞-1，所以：-1＜b≤1為所求范圍．…（16分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值、最小值中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．