已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F的直線交拋物線于M、N,其準線l與x軸交于K點.
(1)寫出拋物線的交點坐標及準線方程;
(2)求證:KF平分∠MKN;
(3)O為坐標原點,直線MO、NO分別交準線于點P、Q,求|PQ|的最小值.
(1)解:∵拋物線y
2=4x
∴拋物線焦點坐標為(1,0),準線方程為x=-1.
(2)證明:作MM
1⊥準線 于M
1,NN
1⊥準線 于N
1,則
,
又由拋物線的定義有
∴
∴
∴∠KMM
1=∠KNN
1,即∠MKF=∠NKF,
∴KF平分∠MKN
(3)解:設(shè)M、N的坐標分別為
,
,
M,O,P三點共線可求出P點的坐標為
,
由N,O,Q三點共線可求出Q點坐標為
,
設(shè)直線MN的方程為x=my+1,代入拋物線y
2=4x,化簡可得y
2-4my-4=0
∴y
1+y
2=4m,y
1y
2=-4
∴|PQ|=
=
=4
又直線MN的傾斜角為θ,則m=cotθ(0<θ<π),
∴|PQ|=4
=
∴θ=
時,|PQ|取得最小,最小值為4.
分析:(1)根據(jù)拋物線y
2=4x,可得拋物線焦點坐標為(1,0),準線方程為x=-1.
(2)證明:作MM
1⊥準線 于M
1,NN
1⊥準線 于N
1,則
,根據(jù)拋物線的定義有
,從而可得KMM
1=∠KNN
1,進而可知KF平分∠MKN
(3)設(shè)M、N的坐標分別為
,
,根據(jù)M,O,P三點共線,確定P點的坐標,根據(jù)N,O,Q三點共線可求出Q點坐標,設(shè)直線MN的方程為x=my+1,代入拋物線y
2=4x,化簡可得y
2-4my-4=0,從而可得PQ|=
=
=4
,由此可求PQ|的最小值.
點評:本題以拋物線為載體,考查拋物線的性質(zhì),考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線的定義,正確表示|PQ|是關(guān)鍵.