Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，X所對邊分別為a，b，c，三個內(nèi)角成等差數(shù)列，同時sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列．
（1）求角B；
（2）試判斷△ABC的形狀，并加于證明．

Answer 1

分析：（1）先由△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°；
（2）因為已求出∠B，可得∠A+∠C=120°①；，再由sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，得sin²B=sinA•sinC，②，①②結(jié)合即可判斷這個三角形的形狀．

解答：解：（1）∵△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，
∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；
又sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinA•sinC=

3

4

，②
由①②得：sinA•sin（120°-A）
=sinA•（sin120°cosA-cos120°sinA）=

3

4

sin2A+

1

2

•

1-cos2A

2

=

3

4

sin2A+

1

2

•

1-cos2A

2

=

3

4

sin2A-

1

4

cos2A+

1

4

=

1

2

（2A-30°）+

1

4

=

3

4

，
∴sin（2A-30°）=1，又0°＜∠A＜120°
∴∠A=60°．
∴△ABC是等邊三角形；

點評：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，關(guān)鍵在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式轉(zhuǎn)化，著重考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．