Question

已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

．
（1）若不等式f（x）=g（x）在區(qū)間 （

1

e

，e）內(nèi)的解的個數(shù)；
（2）求證：

ln2

25

+

ln3

35

+…+

ln n

n5

＜

1

2e

．

Answer 1

分析：（I）將方程的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題；通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過對k與函數(shù)h（x）的極值的大小關(guān)系的討論得到方程解的情況．
（II）通過（I）得到的函數(shù)的單調(diào)性，通過對不等式放縮，利用數(shù)列的裂項求和的方法證出不等式．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=g（x），得k=

lnx

x2

．
令h(x)=

lnx

x2

所以，方程f（x）=g（x），在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)解的個數(shù)即為函數(shù)h(x)=

lnx

x2

，x∈[

1

e

，e]的圖象與直線y=k交點的個數(shù)．
h′(x)=

1-2lnx

x3

當(dāng)h′（x）=0時，x=

e

．
當(dāng)x在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)變化時，h′（x），h（x）變化如下：

x∈[

1

e

，

e

)，h′(x)＞0；x∈(

e

，e)時，h′(x)＜0
當(dāng)x=

1

e

時，y=-e²；當(dāng)x=

e

時，y=

1

2e

；當(dāng)x=e時，y=

1

e2

．
所以，（1）當(dāng)k＞

1

2e

或k＜-e²時，該方程無解
（2）當(dāng)k=

1

2e

或-e2≤k＜

1

e2

時，該方程有一個解；
（3）當(dāng)

1

e2

≤k＜

1

2e

時，該方程有兩個解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

．

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+ 

1

n2

 )

∴∴(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

＜1-

1

n

＜1
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

∵

ln2

25

+

ln3

35

+…+

lnn

n5

＜

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

∴

ln2

25

+

ln3

35

+…+

lnn

n5

＜

1

2e

．

點評：本題考查通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)交點的個數(shù)，以及通過放縮的方法證明不等式、考查利用裂項法求數(shù)列的和．