Question

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購(gòu)銷平臺(tái)．已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1噸該商品可獲利潤(rùn)0.5萬(wàn)元，未售出的商品，每1噸虧損0.3萬(wàn)元．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個(gè)銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖如右圖所示．已知電商為下一個(gè)銷售季度籌備了130噸該商品．現(xiàn)以x（單位：噸，100≤x≤150）表示下一個(gè)銷售季度的市場(chǎng)需求量，T（單位：萬(wàn)元）表示該電商下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤(rùn)． （Ⅰ）視x分布在各區(qū)間內(nèi)的頻率為相應(yīng)的概率，求P（x≥120）
（Ⅱ）將T表示為x的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅲ）在頻率分布直方圖的市場(chǎng)需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值（組中值）代表該組的各個(gè)值，并以市場(chǎng)需求量落入該區(qū)間的頻率作為市場(chǎng)需求量取該組中值的概率（例如x∈[100，110），則取x=105，且x=105的概率等于市場(chǎng)需求量落入100，110）的頻率），求T的分布列及數(shù)學(xué)期望E（T）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7． （Ⅱ）當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；
當(dāng)x∈[130，150]時(shí)，T=0.5×130=65．
∴T= ．
（Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得：
當(dāng)x∈[100，110）時(shí)，T=0.8×105﹣39=45，P（T=45）=0.010×10=0.1；
當(dāng)x∈[110，120）時(shí)，T=0.8×115﹣39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；
當(dāng)x∈[120，130）時(shí)，T=0.8×125﹣39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；
當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．
所以T的分布列為

T	45	53	61	65
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（萬(wàn)元）
【解析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖及兩兩互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P（120≤x＜130）+P（130≤x＜140）+P（140≤x≤150）．（Ⅱ）當(dāng)x∈[100，130）時(shí)，T=0.5x﹣0.3（130﹣x）=0.8x﹣39；當(dāng)x∈[130，150]時(shí)，T=0.5×130，即可得出．（Ⅲ）由題意及（Ⅱ）可得：當(dāng)x∈[100，110）時(shí)，T=0.8×105﹣39，P（T=45）=0.010×10；當(dāng)x∈[110，120）時(shí)，T=0.8×115﹣39，P（T=53）=0.020×10；當(dāng)x∈[120，130）時(shí)，T=0.8×125﹣39，P（T=61）=0.030×10；當(dāng)x∈[130，150）時(shí)，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】掌握離散型隨機(jī)變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．