Question

過(guò)曲線(xiàn)y=x²（x≥0）上某一點(diǎn)A作一切線(xiàn)l，使之與曲線(xiàn)以及x軸所圍成的圖形的面積為

1

12

，試求：
（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）過(guò)切點(diǎn)A的切線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），只須在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率從而得到切線(xiàn)的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．
（2）欲求過(guò)切點(diǎn)A的切線(xiàn)l的方程，只須求出其斜率的值即可，由（1）中求得的導(dǎo)數(shù)值即可求出切線(xiàn)的斜率．從而問(wèn)題解決．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)的斜率為k=y'|_x=a=2a，
故過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)l的方程為y-a²=2a（x-a），即y=2ax-a²，令y=0，得x=

a

2

，
則S△ABC=

1

2

•

a

2

•a2=

a3

4

，S△ABO=

∫

a 0

x2dx=

x3

3

|

a 0

=

a3

3

，
∴S=S△ABO-S△ABC=

a3

12

=

1

12

∴a=1
∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1）
（2）∵直線(xiàn)的斜率k=2×1=2，
且過(guò)點(diǎn)（1，1）
∴直線(xiàn)方程為y=2x-1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、定積分的應(yīng)用、直線(xiàn)的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．