Question

14．已知函數(shù)f（x）=||2x-3|-3|+m恰有四個(gè)互補(bǔ)相等的零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁x₂x₃x₄的取值范圍是（-$\frac{243}{16}$，0）．

Answer 1

分析 畫出函數(shù)f（x）=||2x-3|-3|的圖象，可得方程f（x）=-m（m∈R）恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，m的取值范圍，進(jìn)而求出方程的四個(gè)根，進(jìn)而根據(jù)m的范圍和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x₁x₂x₃x₄的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=||2x-3|-3|的圖象如下圖所示：

由圖可知，若f（x）=-m四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則-m∈（0，3）
且x₁，x₂，x₃，x₄分別為：
x₁=$\frac{1}{2}$m，x₂=3-$\frac{1}{2}$m，x₃=$\frac{1}{2}$m+3，x₄=-$\frac{1}{2}$m，
∴x₁x₂x₃x₄=$\frac{1}{16}$（m²-18）²-$\frac{81}{4}$∈（-$\frac{243}{16}$，0）
故答案為：（-$\frac{243}{16}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中畫出函數(shù)的圖象，引入數(shù)形結(jié)合思想是解答本題的關(guān)鍵