(07年湖北卷)(14分)
在平面直角坐標系中,過定點
作直線與拋物線
(
)相交于
兩點.
(I)若點是點
關(guān)于坐標原點
的對稱點,求
面積的最小值;
(II)是否存在垂直于軸的直線
,使得
被以
為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出
的方程;若不存在,說明理由.
(此題不要求在答題卡上畫圖)
本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力.
解析:解法1:(Ⅰ)依題意,點的坐標為
,可設(shè)
,
直線的方程為
,與
聯(lián)立得
消去
得
.
由韋達定理得,
.
于是.
,
當(dāng)
,
.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線存在,其方程為
,
設(shè)的中點為
,
與
為直徑的圓相交于點
,
的中點為
,
則,
點的坐標為
.
,
,
,
.
令,得
,此時
為定值,故滿足條件的直線
存在,其方程為
,
即拋物線的通徑所在的直線.
解法2:(Ⅰ)前同解法1,再由弦長公式得
,
又由點到直線的距離公式得.
從而,
當(dāng)
時,
.
(Ⅱ)假設(shè)滿足條件的直線存在,其方程為
,則以
為直徑的圓的方程為
,
將直線方程代入得
,
則.
設(shè)直線與以
為直徑的圓的交點為
,
則有.
令,得
,此時
為定值,故滿足條件的直線
存在,其方程為
,
即拋物線的通徑所在的直線.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖北卷文)(12分)
如圖,在三棱錐中,
,
,
是
的中點,且
,
.
(I)求證:平面平面
;
(II)試確定角的值,使得直線
與平面
所成的角為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖北卷理)平面外有兩條直線
和
,如果
和
在平面
內(nèi)的射影分別是
和
,給出下列四個命題:
①;
②;
③與
相交
與
相交或重合;
④與
平行
與
平行或重合.
其中不正確的命題個數(shù)是( �。�
A.1 B.2 C.3 D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖北卷理)(12分)
如圖,在三棱錐中,
底面
,
,
是
的中點,且
,
.
(I)求證:平面;
(II)當(dāng)角變化時,求直線
與平面
所成的角的取值范圍.
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