設(shè)函數(shù)f(x)=ax-x3,a∈R,
(1)若f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)在[-2,2]上的值域也是[-2,2],求實(shí)數(shù)a的值.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域
專題:計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),即有f′(x)≤0在R上恒成立,即有a≤3x2,求出右邊的最小值即可;
(2)對a討論,分若a≤0,a≥12,0<a<12三種情況,分別判斷單調(diào)性,解方程求出a,加以判斷即可得到.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=ax-x3的導(dǎo)數(shù)為:f′(x)=a-3x2,
由于f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),
且y=f′(x)的圖象是開口向下的拋物線,
則f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),
即有f′(x)≤0在R上恒成立,即有a≤3x2,
由于3x2≥0,則a≤0;
(2)由于f(-x)=-ax-(-x)3=-(ax-x3)=-f(x),
則f(x)為奇函數(shù),
若a≤0,則為減函數(shù),
f(x)在[-2,2]上的值域也是[-2,2],
即有f(-2)=2,且f(2)=-2,
即2a-23=-2,解得,a=3>0,不成立.
則a>0,由f′(x)>0,解得,-
a
3
<x<
a
3
,f(x)遞增,
由f′(x)<0,解得x>
a
3
,或x<-
a
3
,f(x)遞減.
當(dāng)
a
3
≥2即a≥12,區(qū)間[-2,2]遞增,則有f(-2)=-2,且f(2)=2,
即有2a-8=2,解得,a=5<12不成立;
當(dāng)
a
3
<2即0<a<12,區(qū)間[-2,2]遞減,則有f(-2)=2,且f(2)=-2,
即2a-23=-2,解得,a=3,成立.
綜上可得,a=3.
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:判斷單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用:求值域,考查分類討論的思想方法,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題和易錯題.
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計算:(2
1
4
 
1
2
-(-2012)0-(3
1
8
 -
2
3
+(
3
2
-2+log25625+lg0.001+ln
e
+2 -1+log23

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A、0
B、
2
C、2
D、
4
2
3

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B、{1,2}
C、{(1,2)}
D、{1,2,(1,2)}

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2
5
,
3
4
,
1
3
,且假設(shè)各自能否被選中是無關(guān)的.
(1)求甲、乙、丙三個方案只有兩個被選中的概率;
(2)記甲、乙、丙三個方案被選中的個數(shù)為ξ,試求ξ的期望.

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