Question

已知函數(shù)f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a的值代入f（x），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)；，將?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函數(shù)遞增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．
（II）將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構(gòu)造函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的根與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，求出新函數(shù)的最值，求出a的范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2+lnx(x＞0)，
f′(x)=x+

1

x

可知當(dāng)x∈[1，e]時(shí)f（x）為增函數(shù)，
最小值為f(1)=

1

2

，
要使?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，+∞)
（2）已知函數(shù)f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線y=2ax的下方，
等價(jià)于對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立．
設(shè)g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))．
即g（x）的最大值小于0.g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)
（1）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＜0，
∴g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))為減函數(shù)．
∴g（1）=-a-

1

2

≤0
∴a≥-

1

2

∴

1

2

≥a≥-

1

2

（2）a≥1時(shí)，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＞0．
g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))為增函數(shù)，
g（x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時(shí)不滿足條件．
（3）當(dāng)

1

2

＜a＜1時(shí)，g（x）在(1，

1

2a-1

)上為減函數(shù)，在(

1

2a-1

，+∞)上為增函數(shù)，
同樣最大值可無窮大，不滿足題意．綜上．實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：解決不等式恒成立及不等式有解問題一般都轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出參數(shù)的范圍．