Question

如圖半徑為2的圓內(nèi)接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點(diǎn)在圓周上．
（1）寫出這個(gè)梯形周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)式，并求出它的定義域；
（2）求出周長(zhǎng)y的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，設(shè)OE=a，則EB=2-a，由勾股定理得OC²-OE²=BC²-BE²，代入整理可得a；
周長(zhǎng)y=AB+2BC+CD=4+2x+2a；由0＜a＜2，可得x的取值范圍；
（2）函數(shù)y=-

x2

2

+2x+8是二次函數(shù)，定義域?yàn)閤∈（0，

2

），用配方法可以求得y的最大值及對(duì)應(yīng)x的值．

解答：解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，
設(shè)OE=a，則EB=2-a，∴OC²-OE²=BC²-BE²，即2²-a²=x²-（2-a）²，∴a=

8-x2

4

；
∴y=AB+2BC+CD=4+2x+2a=4+2x+

8-x2

2

=-

x2

2

+2x+8；由0＜a＜2，得0＜

8-x2

4

＜2，∴0＜x＜2

2

；
所以，周長(zhǎng)y=-

x2

2

+2x+8   x∈(0，2

2

)；
（2）周長(zhǎng)函數(shù)y=-

x2

2

+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，其中x∈（0，2

2

），所以，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值，為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的解析式求函數(shù)的最值時(shí)，通常用配方法解答；本題是基礎(chǔ)題．