Question

已知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0．

（1）若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；

（2）若為圓C上任意一點(diǎn)，求的最大值與最小值；

（3）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓引切線PM，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求當(dāng)|PM|最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

 

Answer 1

（1）或；或，或；（2）最大值為-1，最小值為-7．；（3）當(dāng)y=即P（）時(shí)，|PM|最�。�

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)出切線方程為y=kx，同理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切線的方程；當(dāng)截距不為零時(shí)，根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等，設(shè)出切線方程x+y=b，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，得到切線的方程； （2）設(shè)，則表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點(diǎn)；因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723504250419989/SYS201411172350483949922497_DA/SYS201411172350483949922497_DA.009.png">在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點(diǎn)，而直線MA方程為：y+2=(x-1)，則有：C點(diǎn)到直線MA的距離不大于圓C的半徑，即：，解得：，即可求出的最大值為和最小值；（3）根據(jù)圓切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，得到三角形CPM為直角三角形，根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)P的軌跡方程，由軌跡方程得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一條直線，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原點(diǎn)到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出P到O的距離，把P代入動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩者聯(lián)立即可此時(shí)P的坐標(biāo)．

【解析】
圓C的方程為：（x+1）2+（y-2）2=2

（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時(shí)，切線過原點(diǎn)或切線的斜率為；

當(dāng)切線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為：y=kx，相切則：，得；

當(dāng)切線的斜率為時(shí)，設(shè)切線方程為：y=-x+b，由相切得：，

得b=1或b=5;故所求切線方程為：或；或，或

（2）設(shè)，則表示直線MA的斜率；其中A（1，-2）是定點(diǎn)；

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111723504250419989/SYS201411172350483949922497_DA/SYS201411172350483949922497_DA.009.png">在圓C上，所以圓C與直線MA有公共點(diǎn)，

而直線MA方程為：y+2=(x-1)，則有：C點(diǎn)到直線MA的距離不大于圓C的半徑

即：，解得：，即的最大值為-1，最小值為-7．

（3）由圓的切線長公式得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2;

由|PM|=|PO|得：（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0， 即x=2y-

此時(shí)|PM|=|PO|=

所以當(dāng)y=即P（）時(shí)，|PM|最�。�

考點(diǎn)：1．直線的方程；2．直線與圓的位置關(guān)系．