Question

如圖，在一直線上共插有14面小旗，相鄰兩面之間距離為10m，在第一面小旗處有一人，他要把小旗全部集中到某一面小旗的位置處，每次只能拿一面小旗．
（1）若要集中到第14面小旗處，求他走的路程和；
（2）要使他走的路程和最短，應集中到哪一面小旗的位置位？最短路程是多少？

Answer 1

分析：設將旗集中到第x面小旗處，分析他所走過的路程，并利用等差數(shù)列前n項和公式，求出路程和，求出路程S與集合點x之間的關系式：
（1）將x=14代入，可得要集中到第14面小旗處，他走的路程和；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，結(jié)合x∈N₊，可得要使他走的路程和最短，應集中小旗的位置及最短路程．

解答：解：設將旗集中到第x面小旗處，
則從第一面旗到第x面旗處，共走路程為10（x-1），
然后回到第二面處再到第x面處是20（x-2），
…
從第x面處到第x+1面處路程為20，
從第x面處到第x+2面取旗再到第x面處，路程為20×2，
…
從第x面處到第14面取旗再到第x面處，路程為20×（14-x）
總的路程：S=10（x-1）+20（x-2）+…+20×2+20×1+20×1+20×2+…+20×（14-x）
=10（2x²-31x+211），
（1）當x=14時，S=10×（2×14²-31×14+211）=1690，
即要集中到第14面小旗處，他走的路程和1690m；
（2）∵S=2x²-31x+211
∴x=

31

4

是函數(shù)圖象的對稱軸
又∵x∈N₊，
∴當x=8時，S取最小值910
即要使他走的路程和最短，應集中到第8面小旗的位置位，最短路程是910m

點評：本題求走的總路程最短，是一個數(shù)列求和問題，而如何求和是關鍵，應先畫一草圖，研究他從第一面旗到另一面旗處走的路程，然后求和．