Question

（2012•許昌三模）已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA與直線PB斜率之積為-

3

4

，記點(diǎn)p的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是曲線C上任意兩點(diǎn)，且|

AM

-

AN

|=|

AM

+

AN

|，問直線MN是否恒過某定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為-

3

4

，建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）若|

AM

-

AN

|=|

AM

+

AN

|，則

AM

⊥

AN

，從而可得

y1

x1+2

×

-y1

x1-2

=-1，分直線MN斜率存在與不存在討論，即可求得直線MN過定點(diǎn)（-

2

7

，0）．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-

3

4

得

y

x+2

×

y

x-2

=-

3

4

（x≠±2），
整理得曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．----（4分）
（Ⅱ）若|

AM

-

AN

|=|

AM

+

AN

|，則

AM

⊥

AN

．由題意知A（-2，0）．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁），由

AM

⊥

AN

得

y1

x1+2

×

-y1

x1+2

=-1，
又

x12

4

+

y12

3

=1，解得直線MN方程為x=-

2

7

．----（6分）
若直線MN斜率存在，設(shè)方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

．----（8分）
由

AM

⊥

AN

得

y1

x1+2

×

-y1

x1-2

=-1，整理得（k²+1）x₁x₂+（km+2）（x₁+x₂）+m²+4=0
∴（k²+1）×

4m2-12

4k2+3

+（km+2）×

-8km

4k2+3

+m²+4=0．
解得m=2k或m=

2

7

k．----（10分）
若m=2k，此時直線過定點(diǎn)（-2，0）不合題意舍去．
故m=

2

7

k，即直線MN過定點(diǎn)（-

2

7

，0）．
斜率不存在時依然滿足．----（12分）

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理解題是關(guān)鍵．