Question

求函數(shù)y=x²-2tx+t²-1在區(qū)間[0，1]上的最小值f（t）

Answer 1

分析：先將函數(shù)配方，確定函數(shù)的對稱軸，再利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類討論，從而可求函數(shù)f（x）=x²-2tx+t²-1在區(qū)間[0，1]上的最小值f（t）

解答：解：f（x）=x²-2tx+t²-1=（x-t）²-1，函數(shù)的對稱軸是x=t，開口向上，
①當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（t）=f（0）=t²-1；
②當(dāng)0≤t≤1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，1]上單調(diào)增，
∴f（x）的最小值為f（t）=-1；
③當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)減，
∴f（x）的最小值為f（1）=t²-2t．
綜上可知，f（x）的最小值為f（t）=

t2-1，t＜0 -1，0≤t≤1 t2-2t，t＞1

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確配方，確定函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進(jìn)行分類討論．