Question

橢圓

x2

a2

+

y2

4

=1(a＞2)的右焦點為F，直線x=m與橢圓相交于 A、B兩點，直線x=m不過右焦點F時，△FAB的周長的最大值是16，則該橢圓的離心率是（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．

  2

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設橢圓的左焦點為E，作出圖形，利用橢圓的定義可求得△FAB的周長l=AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a=16，從而可求得a，繼而可得其離心率．

解答：解：設橢圓的左焦點為E，
△FAB的周長l=AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE，
∵AE+BE≥AB，
∴AB-AE-BE≤0，當且僅當AB過E時取到“=”，
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a（當且僅當AB過E時取到“=”），
即直線x=m過橢圓左焦點E時△FAB的周長最大．
∵△FAB的周長的最大值是16，
∴4a=16，
∴a=4，a²=16，又b²=4，
∴c²=a²-b²=16-4=12，
該橢圓的離心率e=

c

a

=

2 3

4

=

3

2

．
故選A．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，著重考查橢圓的定義的應用，考查不等式的作用，求得a=4是關鍵，屬于中檔題．