Question

如圖，設(shè)A，B分別為橢圓的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內(nèi)），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為，求橢圓的離心率；
（2）當點M在線段AB上運動時，求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由中點坐標公式求出A，B的中點M，把M坐標代入直線y=得到a與b的關(guān)系，結(jié)合a²=b²+c²可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出C和D點的坐標，求出直線AB的方程，由點到直線的距離公式求出C和D到直線AB的距離，因為△ABC和△ABD同底，所以把兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為C，D到直線AB的距離比，然后借助于基本不等式求最小值．
解答：解：（1）由題設(shè)，得A（a，0），B（0，b），則點M（）．
因為點M在直線y=上，所以，則b=．
從而，
故橢圓的離心率e=．
（2）設(shè)C（x，y）（x＞0，y＞0），則，D（-x，-y）．
由題設(shè)，直線AB的方程為，即ax+by-ab=0．
因為點C在直線AB的上方，
所以點C到直線AB的距離=．
同理可得點D到直線AB的距離=．
因為，即，且bx＞0，ay＞0．
所以=．
當且僅當bx=ay時等號成立．
由，得．
因此，．
所以，當時，取得最大值，最大值為3-2．
點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，突出考查了數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵是運用線性規(guī)劃的知識去掉點到直線的距離中的絕對值．屬難題．