如圖△ABC為正三角形，邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓．
（1）若
CD
=
1
3
DB
，求|
AD
|；
（2）PQ為圓A的任意一條直徑，求
BP
•
CQ
的最大值．
分析：（1）先將向量
AD
用向量
AC
與
CB
線性表示，然后根據(jù)|
a
| =
|a|
 2
進行求解；
（2）
BP
•
CQ
可轉(zhuǎn)化成
BP
•
CQ
= (
BA
+
AP
)(
CA
+
AQ
)，然后展開化簡，可得
BP
•
CQ
=1+
AQ
•
BC
=1+2cosθ（其中θ為
AQ
與
BC
的夾角），最后根據(jù)三角形函數(shù)求出最值．
解答：解：（1）∵
CD
=
1
3
DB
，
∴
AD
=
AC
+
1
4
CB

∴|
AD
|=
(
AC
+
1
4
CB
)  2
=
13
4
=
13
2
；
（2）
BP
•
CQ
= (
BA
+
AP
)(
CA
+
AQ
)
=1+
AQ
(
BA
-
CA
)
=1+
AQ
•
BC

=1+2cosθ（其中θ為
AQ
與
BC
的夾角）
所以θ=0時，
BP
•
CQ
的最大值為3．
點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及向量的模和向量的基本運算，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，S是邊長為a的正三角ABC所在平面外一點，SA=SB=SC=a，E、F是AB和SC的中點，則異面直線SA與EF所成的角為
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學 來源：湖南省漣源市第一中2008屆高三第二次月考文科數(shù)學試題 題型：044

如圖，已知正三棱柱A1B1C1－ABC的底面邊長為3a，側(cè)棱長為，延長CB到D，使CB＝BD．

(1)求證：直線C1B∥平面AB1D；

(2)求平面AB1D與平面ACB所成的二面角的大小；(結(jié)果用反三角表示)

(3)求點C1到平面AB1D的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不

存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：正定中學2010高三下學期第一次考試（數(shù)學理） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，在三棱錐D－ABC中，已知△BCD是正三角

形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝a，E為BC的中點，

F在棱AC上，且AF＝3FC．

（1）求三棱錐D－ABC的表面積；

（2）求證AC⊥平面DEF；

（3）若M為BD的中點，問AC上是否存在一點N，

使MN∥平面DEF？若存在，說明點N的位置；若不

存在，試說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年重慶市楊家坪中學高二（上）第一次月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，S是邊長為a的正三角ABC所在平面外一點，SA=SB=SC=a，E、F是AB和SC的中點，則異面直線SA與EF所成的角為    ．

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