Question

已知a＞0，函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處的切線與直線y-3x=0平行，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）在（1）的條件下，若對任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，求實數(shù)b的取值組成的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1），由已知f'（1）=3，能求出a的值．
（2）由，根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）當時，，由該函數(shù)在上單調(diào)遞增，知在區(qū)間[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1處取到，由此能求出實數(shù)b的取值組成的集合．
解答：解：（1），
由已知f'（1）=3，即2a²-a=3，2a²-a-3=0，
解得或a=-1．…（2分）
又因為a＞0，所以．…（3分）
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），…（4分）
，
①當2a＞a+1，即a＞1時，
由f'（x）＞0得x＞2a或0＜x＜a+1，
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a+1）和（2a，+∞）．
②當2a＜a+1，即0＜a＜1時，
由f'（x）＞0得x＞a+1或0＜x＜2a，
因此函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2a）和（a+1，+∞）．
③當2a=a+1，即a=1時f'（x）≥0恒成立（只在x=2a處等于0），
所以函數(shù)在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)．…（7分）
綜上：①當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a+1）和（2a，+∞）；
②當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，2a）和（a+1，+∞）；
③當a=1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）．…（8分）
（3）當時，，
由（2）知該函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此在區(qū)間[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1處取到．…（10分）
又，
若要保證對任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，
應該有-5≥b²+6b，即b²+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，
因此實數(shù)b的取值組成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（12分）
點評：本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，考查函數(shù)的增區(qū)間的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、導數(shù)性質(zhì)的合理運用．