Question

（2013•成都一模）某工廠在政府的幫扶下，準(zhǔn)備轉(zhuǎn)型生產(chǎn)一種特殊機(jī)器，生產(chǎn)需要投入固定成本500萬(wàn) 元，年生產(chǎn)與銷售均以百臺(tái)計(jì)數(shù)，且每生產(chǎn)100臺(tái)，還需增加可變成本1000萬(wàn)元．若市場(chǎng)對(duì) 該產(chǎn)品的年需求量為500臺(tái)，每生產(chǎn)m百臺(tái)的實(shí)際銷售收人近似滿足函數(shù)R（m）=5000m-500m²（0≤m≤5，m∈N）
（I）試寫出第一年的銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量單位x百臺(tái)，x≤5，x∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式；
（II）若工廠第一年預(yù)計(jì)生產(chǎn)機(jī)器300臺(tái)，銷售后將分到甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)各100臺(tái)，因技術(shù)、運(yùn)輸?shù)仍�因，估�?jì)每個(gè)地區(qū)的機(jī)器中出現(xiàn)故障的概率為

1

5

．出現(xiàn)故障后，需要廠家上門調(diào)試，每個(gè)地區(qū)調(diào)試完畢，廠家需要額外開支100萬(wàn)元．記廠家上門調(diào)試需要額外開支的費(fèi) 用為隨機(jī)變量ξ，試求第一年廠家估計(jì)的利潤(rùn)．
（說明：銷售利潤(rùn)=實(shí)際銷售收入一成本；估計(jì)利潤(rùn)=銷售利潤(rùn)一ξ的數(shù)學(xué)期望）

Answer 1

分析：（I）由已知，可分別計(jì)算出年產(chǎn)量單位x百臺(tái)時(shí)，的銷售收入及成本，進(jìn)而根據(jù)銷售利潤(rùn)=銷售收入-成本得到銷售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量單位x百臺(tái)，x≤5，x∈N^*的函數(shù)關(guān)系式；
（II）由已知可計(jì)算隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而根據(jù)估計(jì)利潤(rùn)=銷售利潤(rùn)一ξ的數(shù)學(xué)期望，得到第一年廠家估計(jì)的利潤(rùn)

解答：解：（I）∵每生產(chǎn)m百臺(tái)的實(shí)際銷售收人近似滿足函數(shù)R（m）=5000m-500m²萬(wàn)元，
故產(chǎn)量單位x百臺(tái)時(shí)，實(shí)際銷售收人約為5000x-500x²萬(wàn)元，
又∵生產(chǎn)需要投入固定成本500萬(wàn) 元，每生產(chǎn)100臺(tái)，還需增加可變成本1000萬(wàn)元．
故成本=500+1000x萬(wàn)元．
故y=5000x-500x²-（500+1000x）=-500x²+4000x-500，（x≤5，x∈N^*）
（2）∵工廠第一年預(yù)計(jì)生產(chǎn)機(jī)器300臺(tái)，銷售后將分到甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)各100臺(tái)，因技術(shù)、運(yùn)輸?shù)仍�因，估�?jì)每個(gè)地區(qū)的機(jī)器中出現(xiàn)故障的概率為

1

5

．
故ξ～B（3，

1

5

）
∴Eξ=np=

3

5

即廠家上門調(diào)試需要額外開支的費(fèi)用的平均值為100Eξ=60萬(wàn)元
故第一年廠家估計(jì)的利潤(rùn)為y=-500×3²+4000×3-500-60=6940萬(wàn)元

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)期望，其中（1）的關(guān)鍵是分析出銷售利潤(rùn)=銷售收入-成本，（2）的關(guān)鍵是分析出估計(jì)利潤(rùn)=銷售利潤(rùn)一ξ的數(shù)學(xué)期望．