Question

外貿(mào)運(yùn)動(dòng)鞋的加工生產(chǎn)中，以美元為結(jié)算貨幣，依據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，若加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬(wàn)美元，可獲得加工費(fèi)近似地為

1

2

ln（2x+1）萬(wàn)美元，由于生產(chǎn)加工簽約和成品交付要經(jīng)歷一段時(shí)間，收益將因美元貶值而損失mx萬(wàn)美元，其中m∈（0，1）為該時(shí)段美元的貶值指數(shù)，從而實(shí)際所得的加工費(fèi)為f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx萬(wàn)美元．
（Ⅰ）若美元貶值指數(shù)m=

1

200

，為確保實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加，加工產(chǎn)品訂單的金額x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）若加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬(wàn)美元時(shí)共需要的生產(chǎn)成本為p=

1

20

x萬(wàn)美元，已知加工生產(chǎn)能力為x∈[10，20]（其中x為產(chǎn)品訂單的金額），試問美元的貶值指數(shù)m為何范圍時(shí)，加工生產(chǎn)將不會(huì)出現(xiàn)虧損（即當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，都有f（x）≥p成立）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=

1

200

代入函數(shù)解析式f（x）=

1

2

ln（2x+1）-mx，求導(dǎo)后由導(dǎo)函數(shù)大于0得到x的取值范圍；
（Ⅱ）由題意列出不等式f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，分離變量

1

20

+m，構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=

ln(2x+1)

2x

，利用兩次求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)性，由單調(diào)性求出g（x）的最小值，則m的取值范圍可求．

解答：解：（Ⅰ）由已知m=

1

200

，
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

1

200x

，其中x＞0．
所以f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

．
由f′（x）＞0，即199-2x＞0，
解得0＜x＜99.5．
即加工產(chǎn)品訂單的金額x∈（0，99.5）（單位：萬(wàn)美元）時(shí)，實(shí)際所得加工費(fèi)隨x的增加而增加．
（Ⅱ）依題意，企業(yè)加工生產(chǎn)不出現(xiàn)虧損，則當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，都有
f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x．
可得

1

20

+m≤

ln(2x+1)

2x

．
令g(x)=

ln(2x+1)

2x

，x∈[10，20]．
則g′(x)=

2 2x+1 x-ln(2x+1)

2x2

=

2x-(2x+1)ln(2x+1)

2x2(2x+1)

．
令h（x）=2x-（2x+1）ln（2x+1）．
則h′(x)=2-[2ln(2x+1)+(2x+1)•

2

2x+1

]=-2ln（2x+1）＜0．
可知h（x）在區(qū)間[10，20]上單調(diào)遞減，h（x）最小值為h（20）=40-41ln41＜0，
最大值為h（10）=20-21ln21＜0，所以當(dāng)x∈[10，20]時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間[10，20]上單調(diào)遞減，
因此g(x)min=

ln41

40

，即m≤

ln41

40

-

1

20

．
故當(dāng)美元的貶值指數(shù)m∈(0，

ln41-2

40

)時(shí)，加工生產(chǎn)不會(huì)虧損．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，訓(xùn)練了分離變量法，構(gòu)造輔助函數(shù)并通過兩次求導(dǎo)判處輔助函數(shù)的單調(diào)性是解答此題的關(guān)鍵，本題也考查了建模思想，學(xué)會(huì)審題并由題意列出相關(guān)不等式是解決該題的前提，是有一定難度題目．