Question

有如下命題：
①若sin2A=sin2B，則A=B；
②已知函數(shù)f（x）=

21-x  x≤1 1-log2x   x＞1

．若f（x）≤2，則x∈[0，+∞）；
③若sin²A+sin²B+cos²C＜1，則△ABC一定為鈍角三角形；
④已知數(shù)列{a_n}，a₁=32，a_n+1-a_n=2n，則

an

n

最小值是

52

5

．
則其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①，舉反例說(shuō)明命題錯(cuò)誤；
對(duì)于②，分段求出不等式的解集，取并集得到滿(mǎn)足f（x）≤2的x的集合，說(shuō)明命題正確；
對(duì)于③，已知不等式變形后利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用余弦定理表示確定出C為鈍角，即可做出判斷；
對(duì)于④，用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入

an

n

，利用基本不等式求出最小值說(shuō)明命題錯(cuò)誤．

解答： 解：對(duì)于①，若A=30°，B=60°，滿(mǎn)足sin2A=sin2B，但A≠B，
故命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，由f（x）=

21-x  x≤1 1-log2x   x＞1

，
當(dāng)x≤1時(shí)，
由f（x）≤2，得2^1-x≤2，解得：x≥0，此時(shí)不等式解集為[0，1]；
當(dāng)x＞1時(shí)，
由f（x）≤2，得1-log₂x≤2，解得x≥

1

2

，此時(shí)不等式的解集為（1，+∞）．
∴若f（x）≤2，則x∈[0，+∞）．
故命題②正確；
對(duì)于③，由sin²A+sin²B+cos²C＜1可得sin²A+sin²B＜sin²C，
由正弦定理可得a²+b²＜c²，
再由余弦定理可得cosC＜0，C為鈍角．
故命題③正確；
對(duì)于④，在數(shù)列{a_n}中，
由a_n+1-a_n=2n，a₁=32，得：
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=32+2（2+3+…+n）=n²+n+30．
則

an

n

=n+

30

n

+1，當(dāng)n=5或n=6時(shí)有最小值12．
故命題④錯(cuò)誤．
∴正確命題的序號(hào)是②③．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了由分段函數(shù)求解不等式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，是中檔題．