Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x+2，當(dāng)x∈（

1

2

，4）時，不等式f（x）＜-x+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將問題轉(zhuǎn)化為a＞

x2+1

x

在（

1

2

，4）恒成立，令g（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，通過求導(dǎo)得出g（x）_極大值=g（x）_max=g（1）=2，從而求出a的范圍．

解答： 解：當(dāng)x∈（

1

2

，4）時，不等式f（x）＜-x+1恒成立，
即x²-ax+1＜0在（

1

2

，4）恒成立，
即a＞

x2+1

x

在（

1

2

，4）恒成立，
令g（x）=

x2+1

x

=x+

1

x

，
∴g′（x）=1-

1

x2

，
令g′（x）＞0，解得：

1

2

＜x＜1，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜4，
∴g（x）在（

1

2

，1）遞增，在（1，4）遞減，
∴g（x）_極大值=g（x）_max=g（1）=2，
∴a＞2．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，本題屬于中檔題．