【答案】
分析:(1)當(dāng)n大于等于2時(shí),根據(jù)S
n=2
n,得到S
n-1=2
n-1,兩者相減即可得到a
n的通項(xiàng)公式,當(dāng)n=1時(shí),求出S
1=a
1=2,分兩種情況n=1和n大于等于2寫出數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)a
n;
(2)分別令n=1,2,3,…,n列舉出數(shù)列的各項(xiàng),得到b
2-b
1=1,b
3-b
2=3,b
4-b
3=5,…,b
n-b
n-1=2n-3,以上各式相加后,利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡后,將b
1=-1代入即可求出數(shù)列{b
n}的通項(xiàng)b
n;
(3)分兩種情況n等于1和n大于等于2,把(1)和(2)中分別求出的兩通項(xiàng)公式代入
,得到數(shù)列{c
n}的通項(xiàng)公式,列舉出數(shù)列{c
n}的前n項(xiàng)和T
n,兩邊同乘以2后,兩等式相減后,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡后,即可得到數(shù)列{c
n}的前n項(xiàng)和T
n的通項(xiàng)公式.
解答:解:(1)∵S
n=2
n,∴S
n-1=2
n-1,(n≥2).
∴a
n=S
n-S
n-1=2
n-2
n-1=2
n-1(n≥2).(2分)
當(dāng)n=1時(shí),2
1-1=1≠S
1=a
1=2,
∴
(4分)
(2)∵b
n+1=b
n+(2n-1),
∴b
2-b
1=1,b
3-b
2=3,b
4-b
3=5,…,b
n-b
n-1=2n-3,
以上各式相加得
.
∵b
1=-1,∴b
n=n
2-2n.(8分)
(3)由題意得
∴T
n=-2+0×2
1+1×2
2+2×2
3+…+(n-2)×2
n-1,
∴2T
n=-4+0×2
2+1×2
3+2×2
4+…+(n-2)×2
n,
∴-T
n=2+2
2+2
3+…+2
n-1-(n-2)×2
n=
=2
n-2-(n-2)×2
n=-2-(n-3)×2
n,
∴T
n=2+(n-3)×2
n.(12分).
點(diǎn)評:此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列的遞推式確定數(shù)列為等比數(shù)列,在求通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意經(jīng)驗(yàn)首項(xiàng)是否滿足通項(xiàng),會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的和,靈活運(yùn)用等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡求值,是一道中檔題.