設(shè)y=f（x）為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點對稱，當x=時，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）圖象上任意兩點的連線的斜率恒大于0．
【答案】分析：（1）先利用待定系數(shù)法設(shè)出f（x）的解析式，再根據(jù)奇偶性以及極值建立等式關(guān)系，求出參數(shù)即可；
（2）先利用導數(shù)研究函數(shù)在（1，+∞）上的單調(diào)性，任設(shè)兩點并規(guī)定大小，表示出斜率即可判斷符號．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）
∵其圖象關(guān)于原點對稱，即f（-x）=-f（x）
得-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d
∴b=d=0，
則有f（x）=ax3+cx
由f′（x）=3ax2+c，依題意得f′（）=0
∴①
f（）=②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式為：f（x）=4x3-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x2-3＞0
解得：x＞或x＜（8分）
∵（1，+∞）?（，+∞）
∴x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；（10分）
設(shè)（x1，y1），（x2，y2）是x∈（1，+∞）時，
函數(shù)f（x）圖象上任意兩點，
且x2＞x1，則有y2＞y1
∴過這兩點的直線的斜率．（12分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及直線的斜率的求解，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)y=f（x）為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點對稱，當x=
12
時，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）圖象上任意兩點的連線的斜率恒大于0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f'（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，f''是f'（x）的導數(shù)，若方程f''（x）=0有實數(shù)解x0，則稱點（x0，f（x0））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，求：
（1）函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
對稱中心為
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
；
（2）計算f(
1
2011
)+f(
2
2011
)+f(
3
2011
)+f(
4
2011
)+…+f(
2010
2011
)=
2010
2010
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)y=f（x）為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點對稱，當x=
1
2
時，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）圖象上任意兩點的連線的斜率恒大于0．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年山東省青島市平度一中高三（上）期末數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)y=f（x）為三次函數(shù)，且圖象關(guān)于原點對稱，當x=時，f（x）的極小值為-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：當x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）圖象上任意兩點的連線的斜率恒大于0．

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