已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=ln x-ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

解：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，f（0）=0．設(shè)x＜0，則-x＞0，故f（-x）=ln（-x）-a（-x）+1=-f（x），
求得f（x）=-ln（-x）-ax-1，
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=．
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個零點，則這5個零點關(guān)于原點對稱，故方程f（x）=lnx-ax+1=0有2個正實數(shù)根，
即函數(shù)y=lnx 與直線y=ax-1在（0，+∞）上有兩個交點．

當(dāng)y=lnx的圖象與直線y=ax-1相切時，設(shè)切點為（m，lnm），則切線斜率為 （lnm）′=，
則切線方程為 y-lnm=（x-m），即切線為 y=x-1+lnm，故有，解得 a=m=1．

要使函數(shù)y=lnx 與直線y=ax-1在（0，+∞）上有兩個交點，則有 0＜a＜1，即實數(shù)a的取值范圍為（0，1）．
分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0．設(shè)x＜0，則-x＞0，故f（-x）=ln（-x）-a（-x）+1=-f（x），求得f（x）=-ln（-x）-ax-1，由此可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個零點，則這5個零點關(guān)于原點對稱，故方程f（x）=lnx-ax+1=0有2個正實數(shù)根，即函數(shù)y=lnx 與直線y=ax-1在
（0，+∞）上有兩個交點．當(dāng)y=lnx的圖象與直線y=ax-1相切時求得 a=1，從而求得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，求函數(shù)的解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)h（x）=f（x）+
a
x
在[1，e]上的最小值為3，求a的值；
（3）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＞x02+
a
x0
，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足f(log2x)=
-x+ax+1
．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在定義域R上的單調(diào)性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)=
a•2x+b
2x+1
，且f(2)=
3
5

（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）解不等式：f-1（x）＞1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x）．當(dāng)x＞0時，f（x）=x-3，則不等式xf（x）＞0的解集為（　�。�
A、（-∞，-3）∪（3，+∞）B、（-3，3）C、（-∞，0]∪（3，+∞）D、（3，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=ln x-ax+1（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在R上恰有5個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案