Question

設(shè)函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令 ，試比較 S_n與的大小，并加以證明．

Answer 1

解：（1）∵，
又∵
∴．…（2分）
∴a_n+1=a_n+2即 a_n+1-a_n=2，∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為 2 的等差數(shù)列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．…（5分）
（2）∵∴…（6分）
即數(shù)列{b_n}是首項為 ，公比為 的等比數(shù)列
∴…（7分）=…（10分）
∴
故比較的大小，只需比較 與的大小即可 …（11分）
即只需比較 2n+1與4ⁿ的大小
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+C_n¹•3+…≥3n+1＞2n+1…（12分）
故 …（13分）
分析：解：（1）由已知，可求a₁=1，由可得a_n+1-a_n=2，從而可得數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為 2 的等差數(shù)列，從而可求通項公式
（2）由（1）可得，則有數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項和公式可求S_n，利用裂項求和可求T_n，故比較的大小，只需比較 與的大小即可，即只需比較 2n+1與4ⁿ的大小，利用二項展開式即可
點評：本題主要考查了利用遞推公式構(gòu)造等差（等比）數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，（2）綜合考查了等比數(shù)列的前n項和公式及裂項求和的方法在求解數(shù)列的和中的應(yīng)用，結(jié)局（2）的關(guān)鍵是要把所求的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，結(jié)合二項展開式求解即可．