Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求證：{lga_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)對(duì)所有的n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可求得a₂的值，進(jìn)而求得的值，進(jìn)而看當(dāng)n≥2時(shí)，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得a_n，進(jìn)而分別表示出lga_n和lga_n+1，根據(jù)lga_n+1-lga_n=1，判斷出lga_n}n∈N^*是等差數(shù)列．
（2）根據(jù)（1）中求得a_n利用裂項(xiàng)法求得T_n，進(jìn)而根據(jù)3-≥，進(jìn)而根據(jù)求得m的范圍．判斷出m的最大正整數(shù)．
解答：解：（1）依題意，，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=9S_n-1+10①又a_n+1=9S_n+10②
②-①整理得：為等比數(shù)列，
且a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴l(xiāng)ga_n=n∴l(xiāng)ga_n+1-lga_n=（n+1）-n=1，
即{lga_n}n∈N^*是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，
=∴，
依題意有，
故所求最大正整數(shù)m的值為5．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的綜合把握．