Question

如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面ACD，BC=BD=5，AC=4，CD=4

2

．
（Ⅰ）求該四面體的體積；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D大小的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可得：AB⊥AC，AB⊥AD，所以得到Rt△BAC≌Rt△BAD，進(jìn)而得到AD=AC=4，再根據(jù)線段的長度關(guān)系得到△ACD為直角三角形，利用等體積法求出幾何體的體積．
（Ⅱ）作AO⊥平面BCD，過點O作OE⊥BC，連接AE，易得AE⊥BC，所以∠AEO為二面角A-BC-D的平面角，再把角放入三角形中利用解三角形的有關(guān)知識解決問題．

解答：解：（Ⅰ）因為AB⊥平面ACD，
所以AB⊥AC，AB⊥AD．
又因為BC=BD=5，
所以Rt△BAC≌Rt△BAD．
所以AD=AC=4，所以AB=3．（3分）
因為CD=4

2

，所以△ACD為直角三角形，即AC⊥AD．（4分）
所以V_ABCD=V_B-ACD=

1

3

S_△ACD×AB=

1

3

×

1

2

×4×4×3=8，
故該四面體的體積為8．（6分）
（Ⅱ）如圖，作AO⊥平面BCD，垂足為O，過點O作OE⊥BC，垂足為E，
連接AE，易得AE⊥BC，所以∠AEO為二面角A-BC-D的平面角．（8分）

在Rt△BAC中，AB=3，AC=4，BC=5，AE⊥BC，則
AE=

AB•AC

BC

=

12

5

．（9分）
又BC=BD=5，CD=4

2

，則S_△BCD=

1

2

×4

2

×

17

=2

34

．（10分）
因為V_A-BCD=8，則

1

3

S_△BCD×AO=8，所以AO=

24

S△BCD

=

24

2 34

=

6 34

17

．（11分）
在Rt△AOE中，sin∠AEO=

AO

AE

=

6 34 17

12 5

=

5 34

34

．
故二面角A-BC-D的正弦值為

5 34

34

．（12分）

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．