Question

（2012•浦東新區(qū)三模）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）當a=2時，求使f（x）≥x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入函數(shù)解析式，根據(jù)絕對值的符號分為兩種情況，即x＜2和x≥2分別求解對應不等式的解集，再把所有的解集取并集表示出來．
（Ⅱ）根據(jù)區(qū)間[1，2]和絕對值內的式子進行分類討論，即a≤1、1＜a＜2和a≥2三種情況，分別求出解析式，利用二次函數(shù)的性質判斷在區(qū)間上的單調性，再求最小值；最后用分段函數(shù)表示函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f（x）=x|x-a|．…（1分）
當x＜2時，f（x）=x（2-x）≥x，解得x∈[0，1]； …（2分）
當x≥2時，f（x）=x（x-2）≥x，解得x∈[3，+∞）； …（3分）
綜上，所求解集為x∈[0，1]∪[3，+∞）； …（4分）
（Ⅱ）①當a≤1時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x²-ax=（x-

a

2

）²-

a2

4

，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸是x=

a

2

，
∵a≤1，∴

a

2

≤

1

2

＜1，
∴f（x）_min=f（1）=1-a…（6分）
②當1＜a＜2時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=x|x-a|≥0，
f（x）_min=0…（8分）
③當a≥2時，在區(qū)間[1，2]上，f（x）=-x²+ax=-（x-

a

2

）²+

a2

4

，
其圖象是開口向下的拋物線，對稱軸是x=

a

2

，
1° 當1≤

a

2

＜

3

2

即2≤a＜3時，f（x）_min=f（2）=2a-4…（10分）
2° 當

a

2

≥

3

2

即a≥3時，f（x）_min=f（1）=1-a
∴綜上，f（x）_min=

1-a，a≤1 0，1＜a＜2 2a-4，2≤a＜3 1-a，a≥3

…（12分）

點評：本題主要用了分類討論的思想解決含有參數(shù)的函數(shù)求值和求最值問題，分類的標準是絕對值的符號，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，通常是利用函數(shù)在區(qū)間上的單調性，再求最值，有時需要對端點處的函數(shù)值進行作差比較大小．