Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PDC⊥平面ABC；
（2）求PC與平面ABC所成的角的余弦值大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)D為AB的中點(diǎn)，且AC=BC得到AB⊥CD；同理有AB⊥AD，可證AB⊥平面PDC，即可得到平面PDC⊥平面ABC；
（2）由（1）知，點(diǎn)P在平面ABC上的射影在直線DC上，所以∠PCD為所求角．在△PCD中，利用余弦定理可求．
解答：解：（1）證明：在△ABC中，∵D為AB的中點(diǎn)，且AC=BC，∴AB⊥CD，
同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）
（2）由（1）知，點(diǎn)P在平面ABC上的射影在直線DC上，所以∠PCD為所求角．
在△PCD中PD=，PC=，CD=．由余弦定理得：cos∠PCD=
點(diǎn)評(píng)：本題以三棱錐為載體，主要考查了直線與平面垂直的判定，以及線面角的度量，同時(shí)考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．