Question

f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），
（1）求f（log₂x）的最小值；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂f（a）=2（a≠1），我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，解方程組，求出滿足條件的a，b的值，即可得到函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的值域和二次函數(shù)的最小值，即可求出f（log₂x）的最小值；
（2）聯(lián)立f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．我們可以得到一個(gè)關(guān)于x的不等式組，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及一元二次不等式的解法，解不等式組，即可得到滿足條件的x的取值范圍．
解答：解：（I）∵log₂f（a）=2
∴f（a）=4，即a²-a+b=4①
又∵f（log₂a）=b，
∴（log₂a）²-（log₂a）=+b=2②
解得：a=2，b=2
∴f（x）=x²-x+2，
因?yàn)閘og₂x∈R，
所以當(dāng)x=時(shí)，f（log₂x）取最小值為（4分）
（II）若f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]=＜f（1）．
則f（log₂x）²-log₂x＞0且x²-x＜2
解得x∈（0，1）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的值域與最值，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，其中根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，解方程組，求出滿足條件的a，b的值，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答本題的關(guān)鍵．