Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（1）＞2，求a的取值范圍；
（3）當0≤x≤1時，求f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）用換元法求f（x）的解析式（2）解關(guān)于a的絕對值不等式；（3）轉(zhuǎn)化函數(shù)為分段函數(shù)，每一段用二次函數(shù)求得最值，兩段中取最大的．
解答：解：（1）令x+a=t，
∴x=t-a，
∴f（t）=t|t-a|．
∴f（x）=x|x-a|（x∈R）．

（2）∵f（1）＞2，
∴|1-a|＞2，
∴a-1＞2或a-1＜-2，
∴a＞3或a＜-1，
∴a的取值范圍是a＞3或a＜-1．

（3）
當a≤0時，f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（1）=1-a．
當a＞0時，f（x）的圖象如圖：
①當2時，即a＞23時，
f_max（x）=f₂（1）=a-1．
②由，x＞a得，
∴，
∴．
∵x＞a，
∴舍去，
∴．
∴當時，
即時，．
③當時，
即，
f_max（x）=f₁（1）=1-a．
綜上所述，．
點評：本題主要考查絕對值函數(shù)，分段函數(shù)和二次函數(shù)與方程不等式的內(nèi)在聯(lián)系，特別要注意分類討論思想的應(yīng)用．