Question

（2011•武漢模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PCD為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分別是AB、PD、PC的中點，AB=2AD．
（Ⅰ）求證DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系：過P作PO⊥CD于O，則O為CD的中點，由平面PDC丄平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，用坐標表示向量

DE

，

MN

，進而證明

DE

•

MN

=0，從而得證；
（Ⅱ）分別求出平面PAB、平面PAD的一個法向量，再利用數(shù)量積公式求夾角．

解答：解：（Ⅰ）過P作PO⊥CD于O，則O為CD的中點
∵平面PDC丄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD
建立如圖所示的直角坐標系，設AD=2，則AB=4
∴D(0，-2，0)，E(0，1，

3

)，P(0，0，2

3

)A(2，-2，0)，B(2，2，0)，M(2，0，0)，N(0，-1，

3

)
∴

DE

=(0，3，

3

)，

MN

=(-2，-1，

3

)
∴

DE

•

MN

=0，∴

DE

⊥

MN

∴DE丄MN；
（Ⅱ）設

u

=(x1，y1，1)為平面PAB的一個法向量，而

PA

=(2，-2，-2

3

)，

AB

=(0，4，0)
由

u

•

PA

=

u

•

AB

=0得

2x1-2y1-2 3 =0 4y1=0

∴

u

=(

3

，0，1)
又設

v

=(x2，y2，1)為平面PAD的一個法向量，而

AD

=(-2，0，0)
由

v

•

PA

=

v

•

AB

=0得

2x2-2y2-2 3 =0 4-2x2=0

∴

v

=(0 ，

3

，1)
∴cos＜

u

，

v

＞=

1

4

從而可知，二面角B-PA-D的余弦值為-

1

4

點評：本題的考點是用空間向量求平面角的夾角，主要考查空間直角坐標系的建立，考查用坐標表示向量，考查用空間向量的方法解決線線位置關系，求二面角的平面角．