Question

(本小題14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)F(0, p)(p>0), 直線l : y= －p, 點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)，R是線段PF與x軸的交點(diǎn), 過R、P分別作直線、，使， .
(1) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）在直線上任取一點(diǎn)做曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為、，求證：直線恒過一定點(diǎn).

Answer 1

解：(1) ．（2）見解析.

試題分析：（Ⅰ）先判斷RQ是線段FP的垂直平分線，從而可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線；
（Ⅱ）設(shè)M（m，-p），兩切點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線方程，從而可得x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，進(jìn)一步可得直線AB的方程，即可得到直線恒過定點(diǎn)（0，p）；
解：(1)依題意知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，且⊥，

∴是線段的垂直平分線． ∴．
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為：．
（2）設(shè)，兩切點(diǎn)為， 
∴兩條切線方程為xx=2p(y+y)    ① 
xx=2p(y+y)   ②
對(duì)于方程①，代入點(diǎn), 又, 整理得：, 同理對(duì)方程②有, 即為方程的兩根.
∴  ③
設(shè)直線的斜率為，
所以直線的方程為，展開得：，代入③得：,  ∴直線恒過定點(diǎn).
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用圓錐曲線的定義和韋達(dá)定理,來表示根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用。