Question

已知函數(shù)（），．

（Ⅰ）若，曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：；

（Ⅲ）若，試探究函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線，若存在，研究值的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，且符合題意的值有且僅有兩個(gè)

【解析】(I)當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)建立關(guān)于b的方程，求出b值.

(II)由（I）得，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image009.png">，要證，

只須證，然后構(gòu)造函數(shù)， 

利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值，證明最小值大于零即可.

(III)本小題屬于探索性問(wèn)題，先假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，則滿足

，所以,即,從而求出,

然后再討論是否大于零來(lái)確定假設(shè)是否成立.

解：（Ⅰ），，

∴，         --------------------------2分

依題意得  ，∴．         --------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image009.png">，

要證，只須證，

設(shè)，           -------------------4分

則，

令，得， ---------------------------6分

列表得

	遞減	極小	遞增

∴時(shí)，取極小值也是最小值，且，

∴，∴. --------------------8分

（Ⅲ）假設(shè)函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，

∵，∴，

∵，，由得，，

即，∴，--------------9分

∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image009.png">，

當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；---10分

當(dāng)時(shí)，令 ，∵，，

∴，即， ----------------11分

下面研究滿足此等式的值的個(gè)數(shù)：

（方法一）由得  ，

設(shè)函數(shù)，，

令得，當(dāng)時(shí)，遞增；

當(dāng)時(shí)，遞減；

所以，，又時(shí)，，

時(shí)，，

所以，函數(shù)的圖象與軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即符合題意的值有且僅有兩個(gè)．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，

且符合題意的值有且僅有兩個(gè)．-------------------------------14分

                                                

(方法二)設(shè)，則，且，方程化為，

分別畫出和的圖象，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012102514235315625272/SYS201210251424562500439800_DA.files/image073.png">時(shí)，，

由函數(shù)圖象性質(zhì)可得和圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)（且均符合），

所以方程有且只有兩個(gè)解．

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象在其公共點(diǎn)處存在公切線，

且符合題意的值有且僅有兩個(gè)．--------------------------------14分