Question

討論函數f(x)＝()的單調性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：函數的定義域為(－∞，＋∞)，設x₁、x₂∈(－∞，＋∞)，且x₁＜x₂．

　　則f(x₁)＝()＞0，f(x₂)＝()＞0，

　　．

　　當x₁＜x₂≤1時，x₁＋x₂＜2，即有x₁＋x₂－2＜0．

　　又因為x₁－x₂＜0，

　　所以(x₁－x₂)(x₁＋x₂－2)＞0，則0＜()＜1，

　　又對于任意的實數x，f(x)＞0，

　　所以f(x₁)＜f(x₂)．

　　所以函數f(x)＝()在(－∞，1]上是增函數．

　　當1≤x₁＜x₂時，x₁＋x₂＞2，即有x₁＋x₂－2＞0，

　　又因為x₁－x₂＜0，

　　所以(x₁－x₂)(x₁＋x₂－2)＜0，則()＞1．

　　又對于任意的實數x，f(x)＞0，

　　所以f(x₁)＞f(x₂)．

　　所以函數f(x)＝()在[1，＋∞)上是減函數．

　　綜上，可知函數f(x)＝()在(－∞，1]上是增函數，在[1，＋∞)上是減函數．

　　因為x²－2x＝(x－1)²－1≥－1，0＜＜1，

　　所以0＜()≤()^－1＝，即函數的值域為(0，]．

　　思路分析：對于任意的實數x，()＞0恒成立，則在討論函數的單調性時，可用作商法比較大小．求函數的值域可利用指數函數的單調性．