Question

設(shè)函數(shù)，曲線過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為2.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的極值點(diǎn)；

 （Ⅲ）對定義域內(nèi)任意一個，不等式是否恒成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）只有極大值點(diǎn)，且極大值點(diǎn)為；（Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵

∴...................1分

∵在點(diǎn)處的切線斜率為2

∴即......................2分

故..............................3分

（Ⅱ）∵（）

得................4分

即

由可得，

當(dāng)時，...................5分

當(dāng)時，............................6分

列表可得：

	+	0	—
	↗		↙

 

 

 

 

 

 

 

故只有極大值點(diǎn)，且極大值點(diǎn)為..........................8分

（Ⅲ）令，得（）............9分

∴

即..................10分

由可得，

當(dāng)時，

當(dāng)時，.........................11分

列表可得：

	+	0	—
	↗	0	↙

 

 

 

 

 

 

 

由表可知的最大值為

即恒成立

故恒成立.......................12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值。

點(diǎn)評：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，但導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。因此在求極值點(diǎn)的時候僅僅由=0得到的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，而應(yīng)該加以驗(yàn)證。