Question

已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.

（1）求的值及的極大值與極小值；

（2）若方程有三個(gè)互異的實(shí)根，求的取值范圍；

（3）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1），當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值；（2）；（3）或.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，所以若在與時(shí)都取得極值，則，解方程組可得到的值，再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，最后可求得的極大值與極小值；（2）若方程有三個(gè)互異的實(shí)根，故曲線與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則極大值大于1，極小值小于1，從而可求的取值范圍；（3）對(duì)，不等式恒成立，只須，從中求解即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）

由已知有，解得 3分

，

由得或，由得 5分

列表如下

				1
	+	0	－	0	+
	遞增		遞減		遞增

所以，當(dāng)時(shí)，有極大值，當(dāng)時(shí)，有極小值 8分

（2）由于方程有三個(gè)互異的實(shí)根

故曲線與有三個(gè)不同交點(diǎn) 9分

由（1）可知此時(shí)有

解得 12分

（3）由（1）知，在上遞增，此時(shí) 14分

要滿足題意，只須

解得或 16分.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)；2.函數(shù)與方程；3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù).