Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+alnx
（1）當a=﹣1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值
（2）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣1時：f（x）=x2﹣lnx，（x＞0），

∴f′（x）=2x﹣ = ，

令f′（x）＞0，解得：x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ，

∴f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）的極小值是f（ ）= （1+ln2）

（2）解：∵f′（x）=2x+ ，

若f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，

則：f′（1）=2+a≥0，

∴a≥﹣2

【解析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，得出f′（x），從而判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，（2）由f′（x）=2x+ ，且f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，解不等式從而求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．