Question

19．一扇形如圖所示，OA⊥OB，OA=OB=1，P為$\widehat{AB}$上一動(dòng)A點(diǎn)，則$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的取值范圍為[1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P的坐標(biāo)，把$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$用含有P的坐標(biāo)表示，然后利用$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的幾何意義求解．

解答 解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則B（1，0），A（0，1），設(shè)P（x，y）（0≤x≤1），
則$\overrightarrow{AP}=（x，y-1），\overrightarrow{BP}=（x-1，y）$，$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$=x（x-1）+y（y-1）+$\sqrt{2}$
=${x}^{2}+{y}^{2}-x-y+\sqrt{2}$=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．
$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的幾何意義為扇形弧上的點(diǎn)與點(diǎn)M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）距離的平方，
∴當(dāng)點(diǎn)P位于OM的連線與扇形弧交點(diǎn)時(shí)，$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的值最小為$（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，
此時(shí)$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最小值為$\frac{3}{2}-\sqrt{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}=1$；
當(dāng)點(diǎn)P位于A（或B）時(shí)，$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$的值最大為$（1-\frac{1}{2}）^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，
此時(shí)$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BP}+|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|$的最大值為$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\sqrt{2}$．
故答案為：[1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．