Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3-m•{3}^{x}}{{3}^{x}}$，且函數(shù)g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{4}$，1]上的最大值為2，若對任意x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{2}{3}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． [-$\frac{1}{3}$，+∞]

Answer 1

分析 由已知函數(shù)g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{4}$，1]上的最大值為2，先求出a值，進(jìn)而求出兩個(gè)函數(shù)在指定區(qū)間上的最小值，結(jié)合已知，分析兩個(gè)最小值的關(guān)系，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{3-m•{3}^{x}}{{3}^{x}}$=3^1-x-m，
當(dāng)x₁∈[-1，2]時(shí)，f（x₁）∈[$\frac{1}{3}$-m，9-m]；
∵t=x²+x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{1}{2}$為對稱軸的拋物線，
故x∈[-$\frac{1}{4}$，1]時(shí)，t∈[$\frac{29}{16}$，4]，
若函數(shù)g（x）=log_a（x²+x+2）（a＞0，且a≠1）在[-$\frac{1}{4}$，1]上的最大值為2，
則a=2，
即g（x）=log₂（x²+x+2），
當(dāng)x₂∈[0，3]時(shí)，g（x₂）∈[1，log₂14]，
若對任意x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
則$\frac{1}{3}$-m≥1，
解得m∈（-∞，-$\frac{2}{3}$]，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．