Question

已知函數(shù)f（x）=，函數(shù)g（x）=3（x-1）²．
（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求f（x）和g（x）的公共單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（3）討論方程f（x）=g（x）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）h（x）=-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（）（x-1），可求h（x）的極小值為h（1）=，
（3）只需考察h（x）=f（x）-g（x）的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．需求出h（x）極值，利用極值的正負(fù)情況，根據(jù)圖象解得．
解答：解：（1）f′（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1），a＞0時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．而函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．所以兩個(gè)函數(shù)的公共單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），公共單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（2）h（x）=-3（x-1）²．
h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（）（x-1），
令h′（x）=0，得，或x=1，由于＜1，
易知x=1為h（x）的極小值點(diǎn)，
所以h（x）的極小值為h（1）=，
（3）由（2）h（x）=-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（）（x-1），
①若a=0，則h（x）=-3（x-1）²．h（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解．
②若a＜0，則h（x）的極大值為h（1）=，h（x）的極小值為h（）=-＜0，h（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）有三個(gè)解．
③若0＜a＜2，則h（x）的極大值為h（1）=＜0，h（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解．
④若a=2，則h′（x）=6（x-1）²≥0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解．
⑤若a＞2，則由（2）知，h（x）的極大值為h（）=＜0，h（x）的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解．
綜上所述，當(dāng)a≥0，方程f（x）=g（x）只有一個(gè)解．若a＜0，方程f（x）=g（x）有三個(gè)解．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合的思想方法，考察計(jì)算、分類討論等方法和能力．