分析 根據(jù)題意,將原不等式等價變形為:(1-a)nx<1x+2x+3x+…+(n-1)x,再變量分離得到1-a<($\frac{1}{n}$)x+( $\frac{2}{n}$)x+($\frac{3}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x,原不等式在區(qū)間[1,+∞)上有解,即1-a小于右邊的最大值.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到右邊的最大值,最后結(jié)合n≥2即可得到實數(shù)a的取值范圍.
解答 解:不等式f(x)>(x-1)lnn,即
ln$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+…+(n-1)^{x}+{n}^{x}a}{n}$>lnnx-1,
∵對數(shù)的底e>1,
∴原不等式可化為1x+2x+3x+…+(n-1)x+nxa>nx,
移項得(1-a)nx<1x+2x+3x+…+(n-1)x,
因為n是正整數(shù),所以兩邊都除以nx,得:
1-a<($\frac{1}{n}$)x+( $\frac{2}{n}$)x+($\frac{3}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x,…(*)
不等式f(x)>(x-1)lnn在區(qū)間[1,+∞)上有解,
即(*)式的右邊的最大值大于1-a,
∵g(x)=($\frac{1}{n}$)x+($\frac{2}{n}$)x+($\frac{3}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x 在[1,+∞)上是一個減函數(shù),
∴當x=1時,g(x)的最大值為$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{3}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{n(n-1)}{2}$=$\frac{n-1}{2}$,
因此1-a<$\frac{n-1}{2}$,
得實數(shù)a的取值范圍是a>1-$\frac{n-1}{2}$,結(jié)合n≥2得a>$\frac{1}{2}$,
故答案為:{a|a>$\frac{1}{2}$}.
點評 本題給出對數(shù)型函數(shù),求一個不等式在區(qū)間上有解的參數(shù)a的取值范圍,著重考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了學生對基本初等函數(shù)的掌握,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{\sqrt{15}}}{6}$ | B. | $\frac{{\sqrt{14}}}{6}$ | C. | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | D. | $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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