4.設(shè)函數(shù)f(x)=ln$\frac{{\sum_{i=1}^{n-1}{{i^x}+{n^x}a}}}{n}$,其中a∈R,對于任意的正整數(shù)n(n≥2),如果不等式f(x)>(x-1)lnn在區(qū)間[1,+∞)上有解,則實數(shù)a的取值范圍為{a|a>$\frac{1}{2}$}.

分析 根據(jù)題意,將原不等式等價變形為:(1-a)nx<1x+2x+3x+…+(n-1)x,再變量分離得到1-a<($\frac{1}{n}$)x+( $\frac{2}{n}$)x+($\frac{3}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x,原不等式在區(qū)間[1,+∞)上有解,即1-a小于右邊的最大值.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到右邊的最大值,最后結(jié)合n≥2即可得到實數(shù)a的取值范圍.

解答 解:不等式f(x)>(x-1)lnn,即
ln$\frac{{1}^{x}+{2}^{x}+…+(n-1)^{x}+{n}^{x}a}{n}$>lnnx-1
∵對數(shù)的底e>1,
∴原不等式可化為1x+2x+3x+…+(n-1)x+nxa>nx
移項得(1-a)nx<1x+2x+3x+…+(n-1)x,
因為n是正整數(shù),所以兩邊都除以nx,得:
1-a<($\frac{1}{n}$)x+( $\frac{2}{n}$)x+($\frac{3}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x,…(*)
不等式f(x)>(x-1)lnn在區(qū)間[1,+∞)上有解,
即(*)式的右邊的最大值大于1-a,
∵g(x)=($\frac{1}{n}$)x+($\frac{2}{n}$)x+($\frac{3}{n}$)x+…+($\frac{n-1}{n}$)x 在[1,+∞)上是一個減函數(shù),
∴當x=1時,g(x)的最大值為$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{3}{n}$+…+$\frac{n-1}{n}$=$\frac{1}{n}$•$\frac{n(n-1)}{2}$=$\frac{n-1}{2}$,
因此1-a<$\frac{n-1}{2}$,
得實數(shù)a的取值范圍是a>1-$\frac{n-1}{2}$,結(jié)合n≥2得a>$\frac{1}{2}$,
故答案為:{a|a>$\frac{1}{2}$}.

點評 本題給出對數(shù)型函數(shù),求一個不等式在區(qū)間上有解的參數(shù)a的取值范圍,著重考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了學生對基本初等函數(shù)的掌握,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.等比數(shù)列{an}的首項為2,項數(shù)為奇數(shù),其奇數(shù)項之和為$\frac{85}{32}$,偶數(shù)項之和為$\frac{21}{16}$,這個等比數(shù)列前n項的積為Tn(n≥2),則Tn的最大值為(  )
A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

16.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且滿足Sn+Sn-1=tan2(其中t為常數(shù),t>0,n≥2),已和a1=0,且當n≥2時,an>0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若對于n≥2,n∈N*,不等式$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}<2$恒成立,求t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.已知△ABC的三個頂點在以O(shè)為球心的球面上,且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$,BC=1,AC=3,且球O的表面積為16π,則三棱錐O-ABC的體積為( 。
A.$\frac{{\sqrt{15}}}{6}$B.$\frac{{\sqrt{14}}}{6}$C.$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

19.已知幾何體由兩個直棱柱組合而成,其三視圖和直觀圖如圖所示.設(shè)兩異面直線A1Q,PD所成的角為θ,則cosθ的值為$\frac{\sqrt{15}}{15}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

8.在極坐標系中,過點$({2,\frac{3π}{2}})$且平行于極軸的直線的極坐標方程是ρsinθ=-2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

15.已知點F(0,1),一動圓過點F且與圓E:x2+(y+1)2=8內(nèi)切.
(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;
(2)設(shè)點A(a,0),點P為曲線C上任一點,求點A到點P距離的最大值d(a);
(3)在0<a<1的條件下,設(shè)△POA的面積為S1(O是坐標原點,P是曲線C上橫坐標為a的點),以d(a)為邊長的正方形的面積為S2,試求滿足S1≤mS2的正數(shù)m的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+1),
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及a=1時的極值;
(2)解關(guān)于x的不等式ex(x-1)>(x-1)($\frac{1}{2}$x2+x+1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

10.已知函數(shù)f(x)=ax,g(x)=lnx+3.
(1)當a=1時,請用導數(shù)的定義求函數(shù)f(x)的導數(shù);
(2)求函數(shù)g(x)在點(1,3)處的切線方程;
(3)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在x∈[e-4,e]上的圖象與直線y=t(0≤t≤1)總有兩個不同交點,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案