Question

已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）是橢圓C的兩個焦點，過F₁的直線與橢圓C的兩個交點為M，N，且|MN|的最小值為6．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設A，B為橢圓C的長軸頂點．當|MN|取最小值時，求∠AMB的大�。�

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN⊥x軸，則MN的方程為x=-2，代入+=1，得y²=b²（1-）=，
∴|y₁-y₂|=，即|AB|=．
若直線MN不與x軸垂直，則設MN的方程為y=k（x+2），代入+=1，
得 +=1，
即 （a²k²+b²）x²+4a²k²x+a²（4k²-b²）=0．
△=（4a²k²）²-4（a²k²+b²）a²（4k²-b²）
=4a²b²[（a²-4）k²+b²]=4a²b⁴（1+k²），
∴|x₁-x₂|=，
∴|MN|=•
=
=•＞．
綜上，|MN|的最小值為．
由題知 =6，即 b²=3a．
代入a²-b²=4，得a²-3a-4=0，
解得a=-1（舍），或a=4．∴b²=12．
∴橢圓C的方程為+=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-4，0），B（4，0）．
當|MN|取得最小值時，MN⊥x軸．
根據(jù)橢圓的對稱性，不妨取M（-2，3），
∠AMB即直線AM到直線MB的角．
∵AM的斜率k₁==，
BM的斜率k₂==-，
∴tan∠AMB==-8．
∵∠AMB∈（0，π），
∴∠AMB=π-arctan8．
分析：（Ⅰ）由題意，設橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），其中c=2，a²-b²=4．設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直線MN⊥x軸，則MN的方程為x=-2，由此能夠求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由A（-4，0），B（4，0）．當|MN|取得最小值時，MN⊥x軸．根據(jù)橢圓的對稱性，取M（-2，3），∠AMB即直線AM到直線MB的角．由此能夠求出∠AMB的大�。�
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．