Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在條件（2）下，設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式關(guān)系式，得到a_n與a_n-1的關(guān)系．
（2）把s_n代入b_n并化簡(jiǎn)，已知數(shù)列為等比數(shù)列，取一些具體簡(jiǎn)單項(xiàng)，再利用等比中項(xiàng)求出a的值．
（3）把前兩小題的結(jié)果代入c_n并化簡(jiǎn)，由式子的特點(diǎn)利用放縮法證明．即兩項(xiàng)相減時(shí)前一項(xiàng)放小后一項(xiàng)放大，前后兩項(xiàng)恰好消去，然后再放縮．
解答：解：（1）∵（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，，
化簡(jiǎn)得（a≠0），
又∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比數(shù)列．
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，，
因{b_n}為等比數(shù)列，則有b₂²=b₁b₃
∵，
∴，
解得，再將代入得b_n=3ⁿ成立，
∴．
（3）證明：由（2）知，
∴
=，
∵
∴，
∴
∴數(shù)列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
+
=
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)全面，涉及到通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，計(jì)算量也很大，最后證明用放縮法，需要認(rèn)真觀察式子的特點(diǎn)，恰到好處的放縮才能證明出來(lái)．做好本題需要強(qiáng)的計(jì)算能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力．